Trigonometric functions

삼각함수(三角函數,Trigonometric functions)는 수학에서 사용되는 각에 대한 함수이다.

삼각함수는 삼각형이나 주기적 현상의 가정에 주로 사용된다. 삼각함수는 일반적으로 해당 각이 존재하는 직각삼각형의 두 변의 비로 정의되며, 단위원에서의 가변적인 호의 길이의 비로 정의되기도 한다. 이들은 무한급수나 특정 미분방정식의 해로도 표현되어, 그 영역이 임의의 양의 값과 음의값, 또는 복소수로 확장되기도 한다. 삼각함수에는 6개의 기본 함수가 있다.

삼각함수 표기에 대한 기복 지식

삼각함수에 지수를 표기할 경우 아래와 같은 조건이 성립한다.

(sin(θ))² = sin²(θ) = sin²θ
sin²θ ≠ sin(θ²)

직각삼각형

기하학적 정의

우측 직각삼각형 그림에 대하여(a: 높이, b: 밑변, h: 빗변)¹ 아래 공식이 성립한다.

사인 (Sine): sin A = a / h
코사인 (Cosine): cos A = b / h
타젠트 (Tangent): tan A = a / b = sin A / cos A
코시컨트 (Cosecant): csc A = 1 / sin A
시컨트 (Secant): sec A = a / cos A
코탄젠트 (Cotangent): cot A = 1 / tan A

특수각의 삼각비

(직각삼각형을 사용한 비율) 우측그림에서 아래의 특수각에 해당하는 각도는 A에 해당하며 변의 비율은 b:a:h가 된다.

특수각 (밑변과 빗변의 각도)	30º	45º	60º
변의 비율 (밑변:높이:빗변)	\(\sqrt{3} : 1 : 2\)	\(1 : 1 : \sqrt{2}\)	\(1 : \sqrt{3} : 2\)
sin(θ)	\(1 / 2\)	\(1 / \sqrt{2}\)	\(\sqrt{3} / 2\)
cos(θ)	\(\sqrt{3} / 2\)	\(1 / \sqrt{2}\)	\(1 / 2\)
tan(θ)	\(1 / \sqrt{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

삼각형의 공식 산출표

직각삼각형의 밑변 높이 각도 구하는 방법

알고 있는 각 또는 변	구하는 각 또는 변
h, A \|\| b = h × cos A \|\| a = h × sin A
b, A \|\| a = b × tan A \|\| h = b / cos A
b, a \|\| A = cot( a / b) \|\| h² = b² + a²
b, h \|\| a² = h² - b² \|\| A = sec(b + h)
a, A \|\| b = a / tan A \|\| h = a / sin A
a, h \|\| A = csc(a / h) \|\| b² = h² - a²

삼각비의 상호관계

직각삼각형의 밑변 높이 각도 구하는 방법

예각의 삼각비

sin(90º - A) = cos A
cos(90º - A) = sin A
tan(90º - A) = cot A

보각의 삼각비

sin(180º - A) = sin A
cos(180º - A) = - cos A
tan(180º - A) = - tan A

같은 각의 삼각비

sin²A + cos²A = 1
tan A = sin A / cos A
a + tan²A = 1 / cos²A

삼각함수의 정리

KLDP: 삼각함수의 정리

덧셈정리

sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)
sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)
cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)
tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))
tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x) * tan(y))

배각정리

sin(2 * x) = 2 * sin(x) * cos(x)
cos(2 * x) = cos²(x) - sin²(x) = 2 * cos²(x) - 1 = 1 - 2 * sin²(x)
tan(2 * x) = (2 * tan(x)) / (1 - tan²(x))

반각의 정리

sin²(x / 2) = (1 - cos(x)) / 2
cos²(x / 2) = (1 + cos(x)) / 2
tan²(x / 2) = (1 - cos(x)) / (1 + cos(x))

삼각함수 공식 총괄정리

sin(-θ)=-sinθ, cos(-θ)=cosθ, tan(-θ)=-tanθ
sin²θ+cos²θ=1, sec²θ-tan²θ=1, csc²θ-cot²θ=1
sin(π/2-θ)=cosθ, sin(π/2+θ)=cosθ, sin(θ±π/2)=±cosθ
cos(π/2-θ)=sinθ, cos(π/2+θ)=-sinθ, cos(θ±π/2)=Ŧsinθ
sin(π-θ)=sinθ, sin(π+θ)=-sinθ, sin(θ±π)=-sinθ
cos(π-θ)=-cosθ, cos(π+θ)=-cosθ, cos(θ±π)=-cosθ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ, cos(α±β)=cosαcosβŦsinαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ, tan(α-β)=tanα-tanβ/1+tanαtanβ
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ, tan2θ=2tanθ/1-tan²θ
sin²θ/2=1-cosθ/2, cos²θ/2=1+cosθ/2, tan²θ/2=1-cosθ/1+cosθ
sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}
sinα+sinβ=2sin(α+β/2)cos(α-β/2)
sinα-sinβ=2cos(α+β/2)sin(α-β/2)
cosα+cosβ=2cos(α+β/2)cos(α-β/2)
cosα-cosβ=-2sin(α+β/2)sin(α-β/2)

Favorite site

References

빗변 (Hypotenuse), 밑변 (Adjacent), 높이 (Opposite) ↩
Wikipedia-trigonometric_functions_ko.pdf ↩
List_of_trigonometric_identities.pdf ↩
List_of_trigonometric_identities_ko.pdf ↩

알고 있는 각 또는 변	구하는 각 또는 변
h, A \|\| b = h × cos A \|\| a = h × sin A
b, A \|\| a = b × tan A \|\| h = b / cos A
b, a \|\| A = cot( a / b) \|\| h² = b² + a²
b, h \|\| a² = h² - b² \|\| A = sec(b + h)
a, A \|\| b = a / tan A \|\| h = a / sin A
a, h \|\| A = csc(a / h) \|\| b² = h² - a²