Quotient rule
미적분학에서 몫의 법칙은 분수 함수의 미분을 위한 공식이다.
미분해야 하는 함수 \(f(x)\) 가 다음과 같다면:
$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $$
(그리고 \(h(x)\) ≠ \(0\) 이라면) 몫의 법칙은 \(f(x)\) 의 미분을 이렇게 정의한다:
$$ \frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2} $$
보다 더 정확하게 정의한다면, \(a\) 를 포함하는 모든 열린 집합에서의 \(x\) 는 \(h(a)\) ≠ \(0\) 이 성립하고 \(h'(a)\) 와 \(f'(a)\) 은 존재한다.
$$ f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2} $$
증명
곱셈 법칙 (Product rule)을 사용하여 아래와 같이 증명한다.
만약 \(f(x) = \frac {g(x)} {h(x)}\) 라면
$$ g(x)=f(x)h(x) $$
$$ g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x) $$
나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 \(f'(x)\) 를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, \(f(x)\) 는 식 오른쪽에서 없애야 한다.
$$ \begin{align} f'(x) &=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \ &= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \ &= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2} \end{align} $$
Example
\(\frac{(4x - 2)}{(x^2 + 1)}\) 의 미분은:
$$ \begin{align} \frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1} &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \ &= \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} \ &= \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2} \end{align} $$
위의 예제에서 \(g(x)\)와 \(h(x)\)는 각각 아래와 같이 지정하였다:
$$ g(x) = 4x - 2 $$
$$ h(x) = x^2 + 1 $$