Product rule
곱셈 법칙(product rule)은 두 함수의 곱을 미분하는 경우에 대한 법칙으로, 라이프니츠 법칙이라고도 한다.
두 함수를 \(f\), \(g\)라고 했을 때 두 함수를 곱한 \(fg\)를 미분한 결과는
$$ (fg)'=f'g+fg' $$
가 된다.
증명
함수 f를 \(f(x) = g(x)h(x)\)로 정의한다. 이때 \(f'(x)\)를 도함수의 정의에 따라 구하면,
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$
$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x} $$
$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x} $$
$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x} $$
$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right) $$
여기에서 \(h(x)\)는 \(x\)에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.
$$ \lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x) $$
따라서 다음의 결과가 나온다.
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right] $$
$$ = \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right] $$
$$ = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) $$