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Logistic function

로지스틱 방정식 (logistic equation)은 생태학에서 개체군 성장의 단순한 모델로 고안된 미분 방정식, 또는 차분 방정식을 말한다. 혼돈 이론의 초기 연구 대상의 하나로 연구되어 현재는 생태학뿐 아니라 여러 분야에서 응용되어 쓰이고 있다.

Derivative

sigmoid function

The standard logistic function (k = 1, x0 = 0, L = 1) has an easily calculated derivative:

$$ \frac{d}{dx}f(x) = f(x)\cdot(1-f(x)) $$

Sigmoid function를 참조 하면된다.

$$ s(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} $$

미분법 (Derivative)의 몫의 법칙 (Quotient rule)을 사용한다. (몫의 법칙은 곱셈 법칙 (Product rule)을 활용한다)

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}s(x) &= \frac{d}{dx}(\frac{1}{1+e^{-x}}) \ &= \frac{ \frac{d}{dx}(1) * (1+e^{-x}) - (1 * \frac{d}{dx}(1+e^{-x})) }{ (1+e^{-x})^2 } \ &= \frac{ -\frac{d}{dx}(1+e^{-x}) }{ (1+e^{-x})^2 } \ &= \frac{ -( \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(e^{-x}) ) }{ (1+e^{-x})^2 } \ &= \frac{ -(\frac{d}{dx}(\frac{1}{e^x})) }{ (1+e^{-x})^2 } \end{align} $$

자연 상수 (e)의 미분성질 중 아래와 같은 내용이 있다.

$$ \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} $$

위 내용과 몫의 법칙 (Quotient rule)을 사용하여, 계산의 편의성을 위해 아래와 같은 미분 결과를 확인할 수 있다.

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}(\frac{1}{e^x}) &= \frac{ \frac{d}{dx}(1)(e^x) - (1)(\frac{d}{dx}(e^x)) }{ (e^x)^2 } \ &= \frac{ -(e^x) }{ (e^x)(e^x) } \ &= \frac{ -1 }{ e^x } \ &= -e^{-x} \end{align} $$

위 결과를 다시 대입하면 아래와 같다.

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}s(x) &= \frac{ -(\frac{d}{dx}(\frac{1}{e^x})) }{ (1+e^{-x})^2 } \ &= \frac{ -(-e^{-x}) }{ (1+e^{-x})^2 } \ &= \frac{ e^{-x} }{ (1+e^{-x})^2 } \end{align} $$

How does the derivative of a sigmoid s(x) equal s(x)(1-(s(x))?

아래와 같이 계산할 수 있다.

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}s(x) &= \frac{ e^{-x} }{ (1+e^{-x})^2 } \ &= \frac{(e^{-x} + 1 -1)}{(1+e^{-x})^{2}} \ &= \frac{(1 + e^{-x} -1)}{(1+e^{-x})^{2}} \ &= \frac{(1 + e^{-x})}{(1+e^{-x})^{2}} - \frac{1}{(1+e^{-x})^{2}} \ &= \frac{1}{(1+e^{-x})} - \frac{1}{(1+e^{-x})^{2}} \ &= \frac{1}{(1+e^{-x})} (1 - \frac{1}{(1+e^{-x})}) \end{align} $$

따라서 아래가 성립한다.

$$ s'(x) = \frac{d}{dx}s(x) = s(x) (1 - s(x)) $$

개체군 증가 모델

생물의 개체수에 관한 연구는 개체군생태학 분야에 속한다. 인구 추산이나, 해충 발생에 대한 예상 등 이용가치도 있어 오래전부터 연구되고 있었다. 많은 생물에서는 실제 생존하는 것보다 많은 자손을 만들기 때문에 그들 전부가 살아남는다면 개체수는 지수적으로 증가한다. 그러나 현실은 이와는 다르다.

일반적으로는 생물개체수는 정수값을 갖고, 많은 경우 번식은 특정 시기에 일어나기 때문에 개체수 증가는 연속적이 아닌 단계적인 형태를 띤다. 그러나 수학을 간단하게 하기 위해 그 증가도 개체수도 연속적인 값을 갖도록 취급하는 경우가 많다.

보통 한 부모가 만든 자손의 수는 대략 일정하므로, 증가율을 r로 하면 개체수 N의 증가율은

$$ \frac{dN}{dt} = rN $$

로 쓸 수 있다. 이 방정식의 해는 지수곡선이 되어 짧은 시간에도 인구폭발을 일으킨다. 이러한 개체군 성장 모델을 생물개체의 증가가 기하급수적이라고 지적한 것이 토머스 맬서스이기 때문에 맬서스적 성장으로 부르기도 한다. 현실의 생물은 특정 환경에서 생활하고 있고, 그곳에서 생활할 수 있는 개체수의 상한선이 정해져 있다고 보는 것이 자연스럽다. 곧, 개체수가 많아지면, 그 증가율은 낮아지는 것을 상상할 수 있다. 그래서 이러한 현실적인 개체수 변화를 설명하기 위해서는 다음과 같은 성질을 갖는 식이 필요하다.

  • 개체수 0에서 증가율은 0이다.
  • 개체수가 증가함에 따라 증가율은 감소한다.
  • 환경의 수용가능 한계 개체수를 K라고 하면 N=K일 때 증가율은 0이 된다.

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