Skip to content

Integral

적분(Integral)은 리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면 실수의 척도를 사용하는 측도 공간에 나타낼 수 있는 연속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다.

폐구간\([a,b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대한 정적분은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

$$ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \Delta x \quad \left( x_{k} = a + k \Delta x,\ \Delta x =\frac {b-a} {n} \right) $$

적분표

여러 가지 적분 결과 및 공식을 아래와 같이 정리한다.

  • 정적분은 다음과 같이 부정적분을 우선 구하고, 위아래를 대입한 값의 차로 나타낸다.
    • \(\displaystyle \int^{b}_a f\left(x\right) dx = F\left(b\right) - F\left(a\right) , \frac {d}{ dx}F\left(x\right) = f\left(x\right)\)

Antiderivative

미적분학에서 한 함수의 역도함수(逆導函數, 영어: antiderivative) 또는 원함수(原函數) 또는 부정적분 는 그 함수를 도함수로 하는 함수이다. 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 (모든) 역도함수를 구하는 연산이다. 함수 f(x)가 F(x)의 미분이면, F(x)는 f(x)의 역도함수이다. 하지만 유일한 역도함수는 아니며, 이에 임의의 상수를 더한 것이 곧 전체 역도함수이다. 이를 다음과 같이 표기한다.

$$ \int f(x)dx = F(x) + C $$

이로써 부정적분을 미분의 역연산이라 하기도 한다.

미분 실례

미분의 실례로부터 미분의 역연산인 부정적분의 실례을 얻을 수 있다. 예를 들어 \(f(x) = x\)의 미분은 \(f'(x) = 1\)이므로 다음이 성립한다.

$$ \int dx = x +C $$

단항식 \(f(x) = x^r\)는 아래가 성립한다.

$$ \int x^r\, dx = \frac{1}{r+1} x^{r+1} + C , (\ r\ne -1) $$

실제로 미분을 통해 부정적분을 검증하는 것은 용이하나, 일반적인 경우의 해법이 되지는 못 한다.

예제 풀이

표기와 계산

오늘날 일반적으로 사용되는 적분을 나타내는 표기 \(\int\)은 라이프니츠가 제안한 것이다. 적분 가능한 함수 f(x)가 있을 때 적분의 표기는 다음과 같다.

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx $$ (구간 \([a, b]\)에 대한 함수 \(f(x)=x\)의 적분)

미적분학의 기본정리에 따라 적분은 미분의 역산이다. 즉, 함수 \(f(x)=x\)를 도함수로 하는 원시함수 \(F(x)\)가 존재한다. 원시함수를 구하는 과정을 부정적분(不定積分)이라 한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$ \frac{d}{dx} F(x) = f(x) $$

예를 들어, \(f(x)=x\) 라고 하면 원시함수 \(F(x)\)는 다음과 같이 생각하여 구할 수 있다.

$$ \frac{d}{dx}F(x)=x \ $$

이 때 도함수가 \(f(x)=x\)인 원시 함수 \(F(x)\)는 일반적인 다항식을 관계식으로 하는 함수이므로

$$ F(x)=A x^2 + B x + C \ $$ 의 형태가 됨을 알 수 있다. 따라서, 다항식의 도함수 계산법을 이용하면 \(2A=1, B=0\)가 되고, \(C\)는 임의의 상수가 된다. 즉,

$$ F(x)=\frac{1}{2} x^2 + C \ $$ 위 식에서 나타나는 임의의 상수 \(C\)를 적분상수라고 한다. 원시함수 \(F(x)\)에 나타나는 적분 상수는 함수 \(f(x)\)로 미분될 때 \(0\)이 되어 소멸한다.2

일반적으로,

$$ f(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n $$ (단, \(n \ne -1\)) 의 꼴을 갖는 다항식을 관계식으로 하는 함수의 원시 함수 F(x)는 다음과 같은 형태가 된다.

$$ F(x) = \frac{a_0}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_1}{n} x^n + \cdots + a_n x + C $$ (C 는 적분 상수)

See also

Favorite site

References

  1. Definite_integral_and_the_infinite_series.pdf ↩

  2. 한상렬, 현대토목수학, 동화기술, 2010, ISBN 89-425-1522-3, 252-253쪽 ↩

  3. Wikipedia_integral_ko.pdf ↩

  4. Darkpgmr_-_Derivative_and_Integral.pdf ↩