Exponentiation
거듭제곱은 이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 \(a^n\)으로 표기하며, 이때 \(a\)를 밑, \(n\)을 지수라고 한다.
정의
자연수 \(n\)에 대해, 거듭제곱 \(a^n\)은 다음과 같이 정의된다.
$$ {{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n} $$ 이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.
- \(a^1 = a.\)
- \({a^b}{a^c} = a^{b+c}.\)
- \((a^n)^m = a^{nm}.\)
- \((a^b)^c = (a^c)^b\)
- \({a^c}{b^c} = (ab)^c.\)
- \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다:
- \(a^1 = a.\)
- \(a^{n+1} = a \times a^n,\ n=1, 2, 3, \cdots.\)
거듭제곱근
실수 \(a\)에 대하여 \(a^2,a^3,a^4,a^5 ... a^n ...\)(=a의 제곱, a의 세제곱, a의 네제곱, a의 다섯제곱 ... a의 n제곱 ...)을 통틀어 a의 거듭제곱이라고 하는 것처럼,
a의 제곱근, a의 세제곱근, a의 네제곱근, a의 다섯제곱근, ... a의 n제곱근 ... 을 통틀어 a의 거듭제곱근이라고 한다.
여기서,a의 양의 제곱근은 기호로
- \(\sqrt[2]{a}\) 또는 \(\sqrt{a}\)
a의 양의 세제곱근은 기호로
- \(\sqrt[3]{a}\)
a의 양의 네제곱근은 기호로
- \(\sqrt[4]{a}\)
a의 양의 n제곱근은 기호로
- \(\sqrt[n]{a}\)
와 같이 나타낸다.
즉, 거듭제곱근이란, \(\sqrt{a},\sqrt[3]{a}, \sqrt[4]{a}, ... , \sqrt[n]{a} ...\) 과 같은, 어떤 실수의 n제곱근을 말한다.
지수의 범위 확장
거듭제곱은 한 숫자를 여러 번 곱하는 정의 말고도 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이때 거듭제곱의 정의에 따라 \(a^n\)에서 지수 n의 범위를 양의 정수(자연수)보다 더 큰 범위로 생각할 수 있다.
즉, 여기서부터, 거듭제곱은 지수1의 의미를 수를 몇 번 곱했느냐로 생각하겠다.
정수
n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.
$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$ 그리고 이 경우에도 \(a^n \times a^m = a^{n+m}\)이 성립하려면 \(a^n \times a^{-n} = a^{n+(-n)}\)이 성립해야 하고, 따라서 \(a^0\)는 다음과 같이 정의한다.(a≠0[^0]일 경우)
$$ a^0 = 1\, $$