E
상수 e는 탄젠트 곡선의 기울기에서 유도되는 특정한 실수로 무리수이자 초월수이다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따 오일러의 수로도 불리며, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 네이피어 상수라고도 한다. 또한, e는 자연로그의 밑이기 때문에 자연상수라고도 불린다. e는 π, 1, 0, i 등과 함께 수학의 중요한 상수로 취급된다.
성장(자연의 연속한 성장 - growth -)을 표현하기 위해 만들어진 수이다.
정의
$$ \displaystyle e={ \lim_{n\to\infty}}\left(1+{1 \over n} \right)^{n}={ \lim_{x\to0}}\left(1+x\right)^{1 \over x} $$
$$ \displaystyle e={\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots} $$
고등학교에서 \(e\)를 처음 배우면 왜 하나도 자연스럽지 않은 (무지하게 부자연스럽게 정의되는 수가 아닌가!) 수를 자연상수라고 부르는지 의문스러울 수가 있으나, 그렇지 않다. 부자연스러운 것은 어디까지나 인간들이 쓰는 정의일 뿐이고, 실제 미적분학을 비롯한 수학 전반에서 \(e\)를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다.
$$ \displaystyle \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t} $$
$$ \displaystyle \frac{d}{dt}\log_{e}t=t^{-1} $$
$$ \displaystyle \int_{1}^{e}t^{-1}dt=1 $$
Derivative
\(e^{x}\)를 미분하면 \(e^{x}\)가 된다. (동일하다) 그 증명 방법은 로그함수의 미분을 이용하여 지수함수의 미분을 증명하는 순서로 진행하면 된다.
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What is e
The Natural exponential function
내용에 따르면 e는 아래와 같이 정의된다.
- 100%의 성장률을 가지고 1회 연속성장 할 때, 가질 수 있는 최대 성장량.
Natural exponential function함수를 참조하였을 때, 성장률, 성장횟수, 성장량 중 두 가지를 알고 있으면 나머지 한 가지를 알 수 있다.
$$ e^{성장률 * 성장횟수} $$
Example
아래와 같은 시나리오를 가정한다.
이 경우 아래와 같은 금액과 성장률이 적용된다.
| 성장 횟수 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1회 | 금액 | 1 | - | 1 + 1 | ||||||||
| 성장량 | 1 + 0 | - | 1 + 1 | |||||||||
위의 성장을 두 번에 걸쳐 성장시킨다고 가정할 경우 아래와 같이 성장하게 된다.
| 성장 횟수 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 2회 | 금액 | 1 | - | (1) + (0.5) | - | (1 + 0.5) + (0.5 + 0.25) | ||||||
| 성장량 | 1 + 0 | - | (1 + 1/2) | - | (1 + 1/2) * (1 + 1/2) | |||||||
(2회 성장시 마지막 성장량이 (1 + 1/2) * (1 + 1/2)가 된 이유는, 성장한 결과값이 1.5배 * 1.5배이기 때문이다)
위와 같은 방식으로:
- 3회 성장시:
(1 + 1/3) * (1 + 1/3) * (1 + 1/3) - 4회 성장시:
(1 + 1/4) * (1 + 1/4) * (1 + 1/4) * (1 + 1/4) -
...
이 된다. 따라서 아래의 공식이 성립한다.
$$ \displaystyle e={ \lim_{n\to\infty}}\left(1+{1 \over n} \right)^{n}={ \lim_{x\to0}}\left(1+x\right)^{1 \over x} $$