Dot product
선형대수학에서, 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터 공간이다. 벡터 공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간의 스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.
용도
- 각도를 구하고자 할 때
- 크기를 측정할 때
내적 (Dot product)
내적(inner product, dot product)는 벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종이다. 보통 내적은 벡터의 크기를 측정하는 용도로 쓰인다. 크기는 실수와 복소수에서 가능한 이야기이나, 일반적인 체 위에서도 내적에 대해 이야기할 수 있다. 본 문서에서는, 실수, 복소수, 일반적인 체로 나누어 설명하기로 한다. 내적이 주어진 벡터 공간을 내적 공간이라 한다.
행렬에서의 곱셈이 이상하게 정의된 이유가 바로 이것이다. 행렬 곱셈의 결과 행렬은 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열벡터를 내적한 값을 스칼라로 가지는 행렬이라고 할 수가 있다.
또한 내적은 적분으로도 정의가 되기도 하는데 공대에서 흔히 쓰이는 푸리에 해석이 바로 내적의 한 예이다.
About
두 벡터를 표준기저벡터로 나타내었을 때 각 성분끼리의 곱의 합으로 스칼라곱이라고 한다. 내적은 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙이 성립한다.
스칼라곱(Scalar Product)이라고도 한다. 영(零)벡터가 아닌 두 벡터 x, y의 크기 x, y와 x, y가 이루는 각 θ의 cos과의 곱 xycosθ를 x, y의 내적이라 하고, x·y 또는 (x,y)로 나타낸다. 즉,
x＝0 또는 y＝0일 때는 x·y＝0 이라 정한다.
Matrix vs Vector
행렬(Matrix)과 벡터에서 내적의 값이 같은지 확인해 본다.
x, y 평면상에 (2, 2)와 (3, 0) 두 점이 존재한다고 가정했을 때 아래와 같다.
| 분류 | 수식 |
| Matrix | \(\left[ \begin{matrix} 2 & 2 \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right] = (2 \times 3) + (2 \times 0) = 6\) |
| Vector | \(|A| |B| cos \theta = \sqrt{2^2 + 2^2} \times \sqrt{3^2 + 0^2} \times cos( \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{8} \times \sqrt{9} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{144}}{2} = \frac{12}{2} = 6\) |
참고로 (2, 2)와 (3, 0)사이의 각도는 45도 이다.
응용
코사인 법칙
삼각형의 세 변에 대응하는 세 벡터 a, b, c와 이들 가운데 두 벡터의 각도 θ
삼각형의 세 변 a, b,c 와 c가 마주보는 각 θ 에 대한 코사인 법칙은 스칼라곱의 성질을 통해 유도할 수 있다.
벡터 \({\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}}\)가 그림과 같다고 하면, 코사인 법칙은 다음과 같이 증명된다.
\({\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\end{aligned}}}\)
See also
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References
-
Mrw0119.tistory.com_-_Disassembly,_Dot_product,_Outer_product.pdf ↩