Discriminant
대수학에서, 판별식(判別式, discriminant)이란 이차방정식의 계수들 간의 관계식으로, 그 근의 성질에 대한 정보를 알려 준다. 보통 \(D\), \(\Delta\) 등의 기호를 사용한다. 어떤 일변수 다항식 \(f\)의 판별식은, \(f\)와 \(f\)의 도함수의 종결식 (resultant)으로부터 유도될 수 있다.
이차방정식 (Quadratic equation)
예를 들어, 다음 이차 방정식
$$ ax^2 + bx + c=0 $$ 의 판별식은
$$ D = b^2 - 4ac $$ 이다.
여기서, \(a, b, c\)가 실수일 때
- \(D>0\)이면, 이차 방정식은 두 개의 서로 다른 실근을 가지고
- \(D=0\)이면, 이차 방정식은 서로 같은 실근(중근)을 가지고
- \(D<0\)이면, 이차 방정식의 해는 두 개의 서로 다른 허근을 가진다
는 사실을 알아낼 수 있다.
또, 다음 삼차 방정식
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d=0 $$ 의 판별식은
$$ D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd $$ 이다. 또, 다음 4차 방정식
$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e=0 $$ 의 판별식은
$$ D= b^2 c^2 d^2 -b^3 4d^3 -a c^3 4d^2+abc18d^3-a^2 27d^4 +a^3 256e^3 $$ \(-b^2 4c^3+b^3 c 18d e+a 16c^4 e - a b c^2 80d e-a b^2 6d^2 e+a^2 c 144d^2 e\)\(-27b^4 e^2+a b^2 144c e^2 -a^2 128c^2 e^2-a^2 b 192d e^2\)
의 16개항으로 정리된다.
고차 다항식에서도, 판별식은 항상 방정식들의 계수 간의 관계식이다. 이것들은 상당히 길다. 5차, 6차 다항식의 판별식은 각각 59개, 246개 항으로 이루어져 있다. 그리고, 판별식의 항의 개수는 다항식의 차수가 증가함에 따라 기하급수적으로 증가한다. 몇차방정식이어도 그 방정식이 복소수 범위에서 중근을 가진다는 것은 판별식이 \(0\)인 것과 동치이다. 이 개념은 다항식의 계수가 실수일 때 적용된다. 이 경우, 판별식이 사라진다는 것은 다항식의 분해체에서 여러 근을 가진다는 것과 동치이다.