Derivative

미분(Derivative)은 함수의 순간변화율을 구하는 계산 과정이다.

미분은 연속적이고 지속적인 변화량에 대한 순간변화율을 의미한다. 따라서 연속적이지 않은 변화량에서나 첨점과 같은 특이점에서는 미분이 불가능하다. 함수의 그래프에서 미분은 함수 곡선의 특정 지점에서 접선으로 나타낼 수 있다.

여러가지 함수의 미분은 미분표¹를 참고하면 된다.

미분표

[추천] Wikipedia (en) 미분표

여러 가지 미분 결과 및 공식을 아래와 같이 정리한다.

${d \over dx} x^c = cx^{c-1}$
${d \over dx} x = x^0 = 1$
${d \over dx} c = 0$
${d \over dx} \sqrt{x} = {1 \over 2 \sqrt{x}}$
${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = -{1 \over x^2}$

도함수

위의 개요에서 살펴본 바와 같이 함수

$$ f(x) = k x^2 + c $$ 를 미분하면 새로운 관계식을 갖는 함수

$$ f'(x)=2k x^{2-1} $$ 가 생성된다.

이와 같이 원래의 함수를 미분하여 생성되는 함수를 도함수라 한다. 일반적으로 다항 방정식을 관계식으로 하는 함수의 도함수는 미분 계산을 통하여 구할 수 있다. 즉, 함수 f(x)에 대한 도함수 f'(x)는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$

풀이

예를 들어,

$$ f(x) = x^2 - 4\ $$ 의 도함수는

$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$

$$ =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ {(x + \Delta x)}^2 - 4 - (x^2 - 4)}{\Delta x} $$

$$ =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ x^2 + 2 x \Delta x + {\Delta x}^2 - 4 - x^2 + 4}{\Delta x} $$

$$ =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 2 x \Delta x + {\Delta x}^2 }{\Delta x} $$

$$ =\lim_{\Delta x \to 0} 2 x + \Delta x $$

$$ f'(x) = 2x\ $$ 가 된다.

Partial derivative

편미분(도함수; Partial derivative)이란 다변수 함수를 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

∂은 둥근 d인데 그리고 문자 델타 δ의 변형된 모형이고 편미분이라고 읽는다.

Differential

Wikipedia (en) 미분소에 대한 설명

미분소 (Differential) 미분소(微分素; Differential)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, $\mathrm d y$와 같이 나타낸다. 보통 함수의 변화값을 나타내는 기호로는 $\Delta x$, $\delta x$ 등이 있지만, $\mathrm d x$는 무한히 작은 값을 의미한다는 점에서 이들과 구별된다.

용어 정리

Delta (d; △): 값의 차를 나타내는 기호.

평균변화율 (Average rate of change).: 참조: 미분(1) - 기울기, 평균 변화율 - 그들의 차이점은 무엇인가? ³; 폐구간 [a,b] 에서 의 변화율(= △y/△x) ⇔ 선분 AB 의 기울기.

순간변화율 (Instantaneous rate of change).: 참조: 미분(2) - 순간 변화율 ⁴; x = a 에서의 변화율(= f'(a)) ⇔ 접선의 기울기.

미분계수(Differential coefficient)와 도함수(Derivative).: 참조: 미분(3) 미분계수, 도함수 ⁵; 함수 y=f(x)을 미분하여 얻은 함수 f'(x)를 말한다. 일반적으로 f(x)의 미계수 또는 미분계수라고도 한다.

Favorite site

Wikipedia (en) 미분에 대한 설명
Wikipedia (ko) 미분에 대한 설명 ⁶
[추천] Derivative Calculator - Calculate derivatives online — with steps and graphing! (온라인 미분 계산기)
평균변화율, 미분계수, 도함수의 차이점 ⁷
미분계수와 변화율 ⁸
네이버 지식IN: 미분의 정의에 대해서
[추천] 다크 프로그래머: 미분 적분 제대로 알자 ⁹

References

Wikipedia_list_of_differentiation_rules_ko.pdf ↩
Partial_Differentiation.pdf ↩
Gradient-and-average_rate_of_change.pdf ↩
Instantaneous_rate_of_change.pdf ↩
Derivative-and-differential_coefficient.pdf ↩
Wikipedia_derivative_ko.pdf ↩
What_is_differentiate.zip ↩
Differential_coefficient_and_rate_of_change.pdf ↩
Darkpgmr_-_Derivative_and_Integral.pdf ↩