Abstract algebra
추상대수학(抽象代數學, 영어: abstract algebra)은 수학의 한 분야다. 추상대수학에서는 군, 환, 체, 가군, 벡터공간, 그리고 대수학에 대해서 공부한다. "추상대수학"이란 이름은 20세기에 만들어졌다. 그 이전까지 "추상대수학"과 사칙연산, 방정식 풀기, 그리소 실수, 복소수 계산을 다루는 "기초대수학"은 함께 뭉뚱그려서 대수학이라 불렀다. 이에 수학을 전공하지 않은 사람들이 대수학에 대해 일반적으로 떠올리는 기초대수학과 추상대수학이 다루는 분야는 다르다는 사실을 확실히 하기 위하여 새로이 추상대수학이라는 용어를 만들었다. 그러나 최근의 저작물에서는 그 구분이 다시 모호해지고 있다.
역사적으로 볼 때, 대수적 구조는 처음에는 수학의 몇몇 다른 영역에서 생겨난 것으로, 공리적으로 상술된 후에서야 추상대수학에서 제자리를 찾아 연구되기 시작하였다. 이 때문에 추상대수학은 수학의 다른 모든 분야와 수많은 관련성을 낳게 되었다.
현대수학과 수리물리학에서 추상대수학의 개념을 특히 많이 차용한다. 예를 들어, 이론물리학에서는 추상대수학의 한 분야인 리 대수를 깊이 사용한다. 대수적 수론, 대수적 위상수학, 그리고 대수기하학을 통해 여러 다른 수학 분야에 대수학을 접목시키기도 한다. 표상이론(Representation theory)은 추상대수학에서 다루는 대수적 구조에 대하여 보다 깊게 공부하는 학문이다. 대수적 구조의 예로 하나의 이항연산을 가진 것에는:
- 반군
- 모노이드: 단위원(항등원)이 있는 반군
- 유사군
- 군
더 복잡한 예로는:
- 환과 체
- 가군과 벡터공간
- 결합적 대수와 리대수
- 격자와 불 대수
이런 모든 대수적 구조에 공통되는 특성은 범주론에서 연구된다. 범주론은 서로 다른 대수적 구조들을 비교하고 둘 사이의 대응 관계를 연구할 수 있는 형식적 수단을 제공한다.